三角形五心定律

三角形五心定律
开放分类: 数学、三角形、定律、图形、平面几何

三角形五心定律

三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心..三角形五心定律指是三角形重心定律,外心定律,垂心定律,内心定律,旁心定律的总称,

(一),三角重心重心定律:三角形的三条边的中线交于一点,该点叫作三角形的重心.三线交一可用燕尾定理证明,十分简单。
重心的性质:
1、重心到顶点


的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其重心坐标为[(X1+X2+X3)/3],[Y1+Y2+Y3/3)]。
(二),三角形外心定律:三角形的三条边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。即三角形为切圆的圆心.注意到外心到三角形的三个顶点距离相等,结合垂直平分线定义,外心定理其实极好证。
计算外心的重心坐标应先计算下列临时变量:d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2;c=c1+c2+c3。重心坐标:( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c )。
(三),三角形垂心定律:三角形的三条高交于一点,该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质:
1.三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2.垂心外心内心三心共线。
3.垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4此点分每条高线的两部分乘积
定律证明
已知:ΔABC中,AD、BE是两条高,AD、BE交于点连接CO并延长交AB于点F 求证:CF⊥AB
证明:
连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE
∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC
∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB
因此,垂心定理成立!
(四),三角形的内心定律:三角形的三条内角平分线交于一点,该点叫做三角形的内心.即三角形内切圆的圆心。注意到内心到三边距离相等(为内切圆半径),内心定理其实极易证。
若三边分别为l1,l2,l3,周长为p,则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。
直角三角形的内心到边的距离等

于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。
(五),三角形旁心定律:三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。三角形的旁切圆(与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆)的圆心叫做旁心
性质
每个三

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