数学中国

认识三角形中的数学思想

三角形在计算角的度数和边的长度时,经常用到一些数学思想,以下举两例进行说明。

一、方程思想

例1、 如图13,已知∠A=27?,∠CBE=90?,∠C=30?,求∠ADE 的度数。

分析:1、要求一个角的度数,可以先看一下它所

出的位置:如果是某个三角形的一个内角,可以考虑三角形内角和定理计算,如果是某个三角形的外角,

可以考虑三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内

角的和计算。本题中的∠ADE 只能是△BFD 或者△AED 的内角,不可能是某个三角形的外角。2、本题可以通

过设未知数,找相等关系,列方程来解,体现了几何

问题中的方程思想。

解:设∠ADE=X °

∵∠CBE=90?,∠C=30?(已知)

∴∠DEC=180?-(∠CBE+∠C)=180?-(90?+30?)=60?(三角形内角和定理)

又∵∠DEC=∠A+∠ADE (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)

∴60?=27?+X °

∴X °=60?-27?=33?

即∠ADE=33?

二、分类思想

例2、 已知等腰三角形的周长是24cm ,

(1)腰长是底边长的2倍,求腰长;

(2)已知其中一边长为6cm ,求其他两边长.

分析:1、计算(1)可以通过设未知数来进行计算,得出方程,通过求方程的解从而求出答案,其中体现了方程思想。2、计算(2)要注意分两种情况考虑,因为题目中没有说明这条边究竟是腰还是底边,所以通过其中一边长为6cm ,求其他两边的长应该分成两种情况考虑:一种是6cm 长的边为腰,另一种是6cm 长的边为底,体现了数学中的分类讨论思想。并且计算结果还要注意检查是否符合两边之和都大于第三边。

解:

(1)设底边长xcm ,则腰长为2xcm ,

根据题意,得 x+2x+2x=24,x=4.8

∴腰长=2x=2×4.8=9.6 (cm)

(2)因为长为6cm 的边可能是腰,也可能是底,所以要分两种情况计算

当长为6cm 的边为腰时,则底边为 24-6×2=12

∵6+6=12 两边之和等于第三边,所以6cm 长为腰不能组成三角形,舍去。 当长为6 cm 的边为底边时,则腰长为(24-6)÷2=9

∵6cm 、9cm 、9cm 可以组成三角形

∴三角形其他两边长为9 cm.

图1E B F D A C

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