三角形五心定律

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三角形五心定律

目录
三角形五心定理
一、三角形重心定理
二、三角形外心定理 
三、三角形垂心定理
四、三角形内心定理
五、三角形旁心定理 
有关三角形五心的诗歌
编辑本段三角形五心定理
  三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理,外心定理,垂心定理,内心定理,旁心定理的总称。
一、三角形重心定理
  三角形的三条


边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明,十分简单。(重心原是一个物理概念,对于等厚度的质量均匀的三角形薄片,其重心恰为此三角形三条中线的交点,重心因而得名)  重心的性质:  1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。  2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。  3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。  4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数,即其重心坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理 
  三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心。  外心的性质:  1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点,该点即为该三角形外心。  2、若O是△ABC的外心,则∠BOC=2∠A(∠A为锐角或直角)或∠BOC=360°-2∠A(∠A为钝角)。  3、当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部;当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部;当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合。  4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量:d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2;c=c1+c2+c3。重心坐标:( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c )。  5、外心到三顶点的距离相等
三、三角形垂心定理
  三角形的三条高(所在直线)交于一点,该点叫做三角形的垂心。  垂心的性质:  1、三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆。  2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线,且OG︰GH=1︰2。(此直线称为三角形的欧拉线(Euler line))  3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。  4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。  定理证明  已知:ΔABC中,AD、BE是两条高,AD、B

E交于点O,连接CO并延长交AB于点F ,求证:CF⊥AB  证明:  连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE  ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC  ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=

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