高中数学竞赛讲义9

高中数学竞赛讲义(九)

──不等式

一、基础知识 不等式的基本性质: (1)a>b(3)a>b

a-b>0; (2)a>b, b>ca+c>b+c; (4)a>b, c>0

a>c; ac>bc;

ac>bd;

;

(5)a>b, c<0ac<bc; (6)a>b>0, c>d>0

(7)a>b>0, n∈N+(9)a>0, |x|<a

an>bn; (8)a>b>0, n∈N

高中数学竞赛讲义9

+-a<x<a, |x|>a

x>a或x<-a;

(10)a, b∈R,则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; (11)a, b∈R,则(a-b)2≥0(12)x, y, z∈R+,则x+y≥2

a2+b2≥2ab;

, x+y+z

前五条是显然的,以下从第六条开始给出证明。

(6)因为a>b>0, c>d>0,所以ac>bc, bc>bd,所以ac>bd;重复利用性质(6),可得性质(7);再证性质(8),用反证法,若与a>b

高中数学竞赛讲义9

矛盾,所以假设不成立,所以

,由性质(7)得

,即a≤b,

;由绝对值的意义知(9)成立;-|a|≤a≤|a|,

-|b|≤b≤|b|,所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|,所以|a+b|≤|a|+|b|;下面再证(10)的左边,因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|,所以|a|-|b|≤|a+b|,所以(10)成立;(11)显然成立;下证(12),因为

高中数学竞赛讲义9

x+y-2等式,

高中数学竞赛讲义9

≥0,所以x+y≥

,当且仅当x=y时,等号成立,再证另一不

,因为x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc

=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2

高中数学竞赛讲义9

-ab-bc-ca)= (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0,所以a3+b3+c3≥3abc,即x+y+z≥时成立。

二、方法与例题

1.不等式证明的基本方法。

,等号当且仅当x=y=z

(1)比较法,在证明A>B或A<B时利用A-B与0比较大小,或把比较大小,最后得出结论。

例1

a,

b,

c∈R+,试证:对任意实数

(A,B>0)与1

x, y, z, 有

相关文档
高中数学竞赛讲义9
高中数学竞赛讲义高中数学竞赛讲义隐藏>> 数学奥赛辅导知识、方法、技能Ⅰ.组合恒等式 第九讲 组合恒等式、组合不等式 竞赛数学中的组合恒等式是以高中排列组合、...
高中数学竞赛讲义九
高中数学竞赛讲义九——不等式 一、基础知识 不等式的基本性质: (1)a>b a-b>0; (2)a>b, b>c a>c; (3)a>b a+c>b+c; (4)a>b, c>0 ac>...
高中数学竞赛讲义(9)不等式
高中数学竞赛讲义 ——不等式 一、基础知识 不等式的基本性质: (1)a>b (3)a>b a-b>0; (2)a>b, b>c a>c; a+c>b+c; (4)a>b, c>0 ac<...
高中数学竞赛讲义(9)不等式
高中数学竞赛讲义(九) ——不等式 一、基础知识 不等式的基本性质: (1)a>b (3)a>b a-b>0; (2)a>b, b>c a>c; a+c>b+c; (4)a>b, c>0 ...
高中数学竞赛讲义十二
高中数学竞赛讲义十二——立体几何 一、基础知识 公理 1 一条直线。上如果有两...例 9 见图 12-8,OA 是平面α 的一条斜角,AB α于 B,C 在α 内,且 ...
高中数学竞赛讲义十五
高中数学竞赛讲义二 高中数学竞赛讲三 高中数学竞赛讲四 高中数学竞赛讲五 高中数学竞赛讲义六 高中数学竞赛讲义七 高中数学竞赛讲义八 高中数学竞赛讲义九 高中...
高中数学竞赛讲义3
高中数学竞赛讲义1 高中数学竞赛讲义2 高中数学竞赛讲义4 高中数学竞赛讲义5 高中数学竞赛讲义6 高中数学竞赛讲义7 高中数学竞赛讲义8 高中数学竞赛讲义9 高中数学...
高中数学竞赛讲义6
高中数学竞赛讲义1 高中数学竞赛讲义2 高中数学竞赛讲义3 高中数学竞赛讲义4 高中数学竞赛讲义5 高中数学竞赛讲义7 高中数学竞赛讲义8 高中数学竞赛讲义9 高中数学...
高中数学竞赛讲义
( n ≥ 1 )都有 2 + 2 > n . n 2 第107页 楚水实验学校高中数学竞赛讲义 8.证明:任一正方形可以剖分成任意个数多于 5 个的正方形. 9.设 0 < a...
高中数学竞赛讲义
88889 2 第 236 页 楚水实验学校高中数学竞赛讲义 9.证:将{a n }按a 2为模的不同剩余类分成若干个子数列 Q {a n }为无限集,而子数列却是有限多个 ∴...
相关主题
热门文档