学案29 数列的通项与求和

学案29 数列的通项与求和

学案29 数列的通项与求和

自主梳理

1.求数列的通项

(1)数列前n项和Sn与通项an的关系:

S1, n=1,an=

Sn-Sn-1, n≥2.

(2)当已知数列{an}中,满足an+1-an=f(n),且f(1)+f(2)+ +f(n)可求,则可用________求数列的通项an,常利用恒等式an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+ +(an-an-1).

an+1

(3)当已知数列{an}中,满足f(n),且f(1)·f(2)· ·f(n)可求,则可用__________求数

an

aaa列的通项an,常利用恒等式an=a1· a1a2an-1

(4)作新数列法:对由递推公式给出的数列,经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项.

(5)归纳、猜想、证明法. 2.求数列的前n项的和 (1)公式法

①等差数列前n项和Sn=____________=________________,推导方法:____________;

,q=1,

②等比数列前n项和Sn=

= ,q≠1.

推导方法:乘公比,错位相减法. ③常见数列的前n项和:

a.1+2+3+ +n=__________; b.2+4+6+ +2n=__________; c.1+3+5+ +(2n-1)=______; d.12+22+32+ +n2=__________;

e.13+23+33+ +n3=__________________.

(2)分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列. (3)裂项(相消)法:有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间项,只剩有限项再求和.

常见的裂项公式有:

111①; n n+1 nn+1

1111

②=2n-12n+1 ;

2n-1 2n+1 21

③n+1n.

+n+1

(4)错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和. (5)倒序相加:例如,等差数列前n项和公式的推导. 自我检测 1.(原创题)已知数列{an}的前n项的乘积为Tn=3n2(n∈N*),则数列{an}的前n项的( ) 39n-1) B.(3n-1) 2239n-1) D.(9n-1) 88

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